5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! icon

5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно!



Название5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно!
Дата17.10.2016
Размер
ТипСправочники, творчество

5ege.ru – ВСЕ для подготовки к ЕГЭ абсолютно бесплатно!

Оглавление

1

Двоичная система счисления 1

8-ая система счисления 4

16-ая система счисления 6

Перевод чисел из одной системы счисления в другую 7

Перевод из 2-ой системы в 10-ую 7

Перевод из 8-ой системы в 10-ую 7

Перевод из 16-ой системы в 10-ую 7

Перевод из 10-ой системы в 2-ую 7

Перевод из 10-ой системы в 8-ую 10

Перевод из 10-ой системы в 16-ую 10

Перевод из 2-ой системы в 8-ю или 16-ю и обратно 11

Примеры двоичного кодирования информации 12

Кодирование чисел 12

Кодирование целых чисел 13

Сложение и вычитание целых чисел 15

Умножение и деление 18

Кодирование вещественных чисел 19

Арифметические операции с числами в формате с плавающей запятой 21

Двоично-десятичное кодирование информации 22

Преимущества и недостатки 22
^

Двоичная система счисления



В двоичной (binary) системе счисления всего две цифры, называемые дво­ичны­ми (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению тер­мина бит, ставшего наз­ванием разряда двоичного числа. Веса разрядов в дво­ичной системе изменяются по степе­ням двойки. Поскольку вес каждого раз­ря­да умножается либо на 0, либо на 1, то в резуль­тате значение числа опреде­ляется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-ли­бо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. За­пись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.


Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиня­ют­ся тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной сис­теме перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:


0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (перенос в старший разряд)


Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1


^ Пример выполнения операции сложения в двоичной системе счисления:


1 1 1

1 0 1 12 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в

+ 1 1 02 старшие




1 0 0 0 12


Для проверки правильности выполнения операции переведем все три чис­ла из двоичной системы в 10-ую:


1011 = 1*23 + 1*21 + 1 = 8 + 2 + 1 = 1110

3 2 1 0


110 = 1*22 + 1*21 = 4 + 2 = 610

2 1 0


10001 = 1*24 + 1 = 16 + 1 = 1710

4 3 2 1 0


Сумма первых двух чисел (11 и 6) равна третьему числу (17), следователь­но операция выполнена верно.

Обратите внимание на то, что при добавлении к числу, состоящему из еди­ниц (11…1), еще одной единицы, получается число, равное 1 с количест­вом нулей, равным количеству единиц исходного числа, например:

1111 11112 + 1 = 1 0000 00002 = 28


^ Пример выполнения операции вычитания в двоичной системе счисле­ния:

Вычитание выполняется по тем же правилам, что и в 10-ой системе, но в 10-й системе при заеме единицы старшего разряда она превращается в 10 еди­­ниц младшего разряда, а в 2-й системе – в 2 единицы. Если нужно про­извести заем не в соседнем разряде, а далее влево, то из каждых двух единиц текущего разряда одна остается в этом разряде, а вторая передается вправо. Сравните:

9 9 10 1 1 2

1 0 0 010 1 0 0 02

- 1 - 1

9 9 910 1 1 12


Выполним в 2-й системе счисление вычитание 1710 – 610 :

0 1 1 2

1 0 0 0 12

- 1 1 02




1 0 1 12 = 1110 Проверка показывает, что вычитание выполнено верно.


Если в двоичной системе счисления из числа, являющегося степенью двойки, вычесть 1, то получается число, состоящее из единиц, количество которых равно количеству нулей двоичного числа, например:

28 - 1 = 1 0000 00002 – 1 = 1111 11112

1023 = 1024 – 1 = 210 – 1 = 11 1111 11112


^ Пример выполнения операции умножения в двоичной системе счисле­ния:

1 1 0 12 = 1310

* 1 0 12 = 510




1 1 0 1

+1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 12 = 26 +1 = 64 +1 =6510 ( 13 * 5 = 65)

6 5 4 3 2 1 0


Рассмотрим подробнее, как процессор выполняет умножение двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной сис­теме счисления). Машина де­лает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый справа элемент второго множи­теля равен 1, то она за­носит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, полу­чая тем самым 11010, и, если, второй элемент второго множителя равен еди­нице, то добавляет его к сумме. Если элемент второго множителя равен ну­лю, то сумма не изменяется. Этот процесс сдвигов и сложений повторяется.


^ Пример выполнения операции деления в двоичной системе счисле­ния:


Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному де­ле­нию, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Вы­пол­нение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и пред­наз­наченного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом мо­гут быть только либо 0, либо сам делитель.

В качестве примера разделим 14310 = 100011112 на 1310 = 11012


1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

- 1 1 0 1 1 0 1 12 = 1110

1 0 0 1 1

- 1 1 0 1

1 1 0 1

- 1 1 0 1

0

Проверка показывает, что деление выполнено верно (143 / 13 = 11).


Умножение или деление двоичного числа на 2 приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево:

10112 * 102 = 101102.

10112 / 102 = 101.12.

^

8-ая система счисления



При наладке аппаратных средств ЭВМ или создании новой программы возникает необходимость "заглянуть внутрь" памяти машины, чтобы оценить ее текущее состояние. Но там все заполнено длинными последователь­нос­тя­ми нулей и единиц двоичных чисел. Эти последовательности очень неудобны для восприятия человеком, привыкшим к более короткой записи десятичных чисел. Кроме того, естественные возможности человеческого мышления не позволяют оценить быстро и точно величину числа, представленного, напри­мер, комбинацией из 16 нулей и единиц.


Для облегчения восприятия двоичного числа решили разбивать его на группы разрядов, например, по три или четыре разряда. Эта идея оказалась очень удачной, так как последовательность из трех бит имеет 8 комбинаций, а последовательность из 4 бит - 16. Числа 8 и 16 являются степенями двойки, поэтому легко находить соответствие с двоичными числами. Развивая эту идею, пришли к выводу, что группы разрядов можно закодировать, сократив при этом длину последовательности знаков. Для кодировки трех битов требу­ется восемь цифр, поэтому взяли цифры от 0 до 7 десятичной системы. Для кодировки же четырех битов необходимо шестнадцать знаков; для этого взя­ли 10 цифр десятичной системы и 6 букв латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Полученные системы, имеющие основания 8 и 16, назвали соответственно восьмеричной и шестнадцатеричной.


В восьмеричной (octal) системе счисления используются восемь раз­лич­ных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание системы - 8. При записи отрица­тель­ных чисел перед последовательностью цифр ставят знак минус. Сло­же­ние, вычитание, умножение и деление чисел, представленных в восьмерич­ной системе, выполняются весьма просто, подобно тому, как это делают в общеизвестной десятичной системе счисления.


^ Пример выполнения операции сложения в восьмеричной системе счис­ления:

1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов в старшие.

4 7 6 Выполнение операции в каждом разряде:

+ 3 4 1) 6 + 4 = 10 = 1*8 + 2 = 128

5 3 2 2) 1 + 7 + 3 = 1*8 + 3 = 138

3) 1 + 4 = 5

Проверим результат путем перевода чисел в десятичную систему счис­ления :

4768 = 4*82 + 7*8 + 6 = 318 318

348 = 3*8 + 4 = 28 +28

532 = 5*82 + 3*8 + 2 = 346 346


^ Пример выполнения операции вычитания в восьмеричной системе счис­ления:

7 8 Красным цветом показан перенос из старших разрядов в младшие.

5 3 2 Выполнение операции в каждом разряде:

- 3 4 1) 8 + 2 – 4 = 6

4 7 6 2) 7 + 2 - 3 = 1*8 + 3 = 138

3) 1 + 4 = 5


Пример выполнения операции умножения в восьмеричной системе счис­ле­ния:

5 4 54 4*4 = 16 = 2*8 + 0 = 208 (записываем 0)

* 3 4 * 4 2+ 5*4 = 22 = 2*8 + 6 = 268

2 6 0 260

+ 2 0 4

2 3 2 0 54 4*3 = 12 = 1*8 + 4 = 148 (записываем 4)

* 3 1 + 5*3 = 16 = 2*8 + 0 = 208

204

Выполним проверку:

548 = 5*8 + 4 = 4410 44

348 = 3*8 + 4 = 2810 * 28

23208 = 2*83 + 3*82 + 2*8 = 123210 352

+ 88 = 123210

^ Пример выполнения операции деления в восьмеричной системе счис­ле­ния:


2 3 2 08 5 48

- 2 0 4 3 48

2 6 0

- 2 6 0

0

Деление в восьмеричной системе близко делению в десятичной системе: нужно подобрать цифры частного. 232 делим на 54, в десятичной системе мы получили бы целое частное 4, но из предидущего примера мы знаем, что в восьмеричной системе 54*4 = 260, это много, попробуем взять цифру поменьше – 3, умножаем 54*3 = 204, эта цифра подходит, и т.д.


В различных языках про­грам­мирования запись восьмеричных чисел начинается с 0, например, запись 011 означает десятичное число 9.
^

16-ая система счисления



В шестнадцатеричной (hexadecimal) системе счисления применяются десять цифр от 0 до 9 и шесть первых букв латинского алфавита:

10 – A 11 – B 12 – C 13 – D 14 – E 15 – F.

При запи­си отрицательных чисел слева от последовательности цифр ставят знак ми­нус.

Для того чтобы при написании компьютерных программ отличить чис­ла, записанные в шестнадцатеричной системе, от других, перед числом ста­вят 0x. То есть 0x11 и 11 - это разные числа.

Шестнадцатеричная система счисления широко используется при зада­нии различных оттенков цвета при кодировании графической информации (модель RGB). Так, в редакторе гипертекста Netscape Composer можно зада­вать цвета для фона или текста как в десятичной, так и шестнадцатеричной системах счисления (см. рисунок).





^ Пример выполнения операции сложения в 16-ой системе счис­ления:

1 1 Красным цветом показан перенос из младших разрядов

A 7 B16 Выполнение операции в каждом разряде:

+ C 816 B + 8 = 11 + 8 = 19 = 1*16 + 3 = 1316 (записываем 3)

B 4 316 1+7+С = 8+12 = 20 = 1*16 + 4 = 1416 (записываем 4)

1 + A = B

Проверим резульат путем перевода чисел в 10-ю систему:

A7B16 = 10*162 + 7*16 +11 = 2683

2 1 0 2683

C816 = 12*16 + 8 = 200 + 200

1 0 2883

B4316 = 11*162 + 4*16 +3 = 2883

2 1 0


^ Пример выполнения операции вычитания в 16-ой системе счис­ления:

15 16 Красным цветом показан заем из старших разрядов

B 4 316 Выполнение операции в каждом разряде:

- A 7 B16 16 + 3 – B = 19 -11 = 8

C 816 15 + 4 – 7 = 12 = C

B - 1 – A = 0


Умножение и деление в 16-ой системе обычно не выполняется ввиду сложности вычислений.
^

Перевод чисел из одной системы счисления в другую


Перевод числа из системы счисления с основанием q в 10-ю систему счисле­ния выполняется путем вычисления значения многочлена по степеням q, коэффи­ци­ен­ты которого равны цифрам числа.

Рассмотрим различные способы перевода чисел из одной системы счис­ления в другую на конкретных примерах.
^

Перевод из 2-ой системы в 10-ую


1 0 1 1 . 1 0 12 = 1*23 + 0*22 + 1*2 + 1*20 + 1*2-1+ 0* 2-2 + 1*2-3 =

3 2 1 0 -1 -2 -3

= 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.125 = 11.625

Для того, чтобы быстро переводить числа из двоичной системы счис­ле­ния в 10-ую, необходимо запомнить степени двойки : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 и т.д. Отрицательные степени двойки: .5, .25, .125, .0625, .03125 и т.д.
^

Перевод из 8-ой системы в 10-ую


6 3 2.4 58 = 6*82 + 3*8 + 2 + 4* 8-1 + 5*8-2 = 6*64 + 24 + 2 +4/8 + 5/64 =

2 1 0 -1 -2

= 410.578125

Перевод из 16-ой системы в 10-ую


E 7 F.816 = 14*162 + 7*16 + 15 + 8/16 = 14*256 + 7*16 + 15 + .5 = 3711.5

2 1 0 -1
^

Перевод из 10-ой системы в 2-ую


Перевод из 10-ой системы целой и дробной частей выполняется по раз­личным алгоритмам, поэтому будем рассматривать их отдельно.

Перевод целой части

Пусть требуется перевести число 567 из десятичной в двоичную сис­те­му. Сначала определим максимальную степень двойки, такую, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В нашем случае это 9, т. к. 29=512, а 210=1024, что больше начального числа. Таким образом, мы получим число разрядов результата. Оно равно 9+1=10. Поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх, где вместо х могут стоять любые двоичные циф­­ры. Найдем вторую цифру результата. Возведем двойку в степень 9 и вычтем из исходного числа: 567-29=55. Остаток сравним с числом 28=256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд будет нулем, т. е. результат примет вид 10хххххххх. Рассмотрим восьмой разряд. Так как 27=128>55, то и он бу­дет нулевым.

Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх. 25=32<55, поэтому шестой разряд равен 1 (результат 10001ххххх). Для остатка 55-32=23 справедливо неравенство 24 = 16 < 23, что означает равенство единице пятого разряда. Действуя аналогич­но, получаем в результате число 1000110111. Мы разложили данное число по степеням двойки:


567=1*29 + 0*28 + 0*27 + 0*26 + 1*25 + 1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20


При другом способe перевода чисел используется операция деления в столбик. Рассмотрим то же самое число 567. Разделив его на 2, получим част­ное 283 и остаток 1. Проведем ту же самую операцию с числом 283. Получим частное 141, остаток 1. Опять делим полученное частное на 2, и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь для того, чтобы полу­чить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, то есть 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.




Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1000110111.


Поскольку делить на 2 несложно, этот процесс можно записать более компактно:

Частное | Остаток

567 | 1 567 = 10001101112

283 | 1

141 | 1

70 | 0

35 | 1

17 | 1

8 | 0

4 | 0

2 | 0

1 | 1

0

Перевод дробной части


Алгоритм перевода дробной части:

  1. последовательно умножать дробную часть на основание новой системы счис­ления, пока не получим нулевую дроб­ную часть или не будет дос­тигнута требуемая точность вычислений.

  2. Записать полученные целые части произведений в прямой после­до­ва­тельности


Примеры:

  1. перевести 0.65625 в 2-ю систему счисления.


Умножаем дробную часть на 2:

целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

1 3125

0 625 Умножаем только дробную часть!

1 25

0 5

1 0


0.65625 = 0.101012


  1. перевести 0.1 в 2-ю систему счисления.


Умножаем дробную часть на 2:

целая часть дробная часть

произведения произведения

1

0 2 Умножаем только дробную часть!

0 4 С этого места процесс повторяется

0 8

1 6

1 2

0 4

0 8

1 6

1 2

. . .

    1. = 0. 0 0011 0011 0011 …


В результате перевода большинства десятичных чисел, имеющих дроб­ную часть, получается число с бес­конечной дробью, поэтому действительные (вещест­венные) числа в ком­пью­тере хранятся не точно!
^

Перевод из 10-ой системы в 8-ую


Перевод целой части

Алгоритм перевода из десятичной системы в систему счисления с ос­но­ва­нием q путем деления и записи остатков в обратном порядке более удо­бен, поэтому для перевода числа в 8-ю и 16-ую системы мы будем использовать его.

Рассмотрим перевод числа 567 в систему счисления с основанием 8.




567 = 10678





Перевод дробной части


Переведем 0.65625 в 8-ю систему счисления.


Умножаем дробную часть на 8:


целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

5 25 Умножаем только дробную часть!

2 0


0.65625 = 0.528
^

Перевод из 10-ой системы в 16-ую



Перевод целой части


Делим число на 16 и записываем остатки в обратном порядке:




В шестнадцате­рич­ной системе счисления необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так да­лее.

Перевод дробной части


Переведем 0.65625 в 16-ю систему счисления.

Умножаем дробную часть на 16:


целая часть дробная часть

произведения произведения

65625

10(A) 5 Умножаем только дробную часть!

8 0


0.65625 = 0.A816
^

Перевод из 2-ой системы в 8-ю или 16-ю и обратно



Пожалуй, проще всего осуществляется перевод чисел из двоичной сис­темы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 или 16), и наобо­рот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с ос­нованием 2n, нужно

  • данное двоичное число разбить на группы по n-цифр в каждой справа налево в целой части и слева-направо в дробной;

  • если в последней группе окажется меньше n разрядов, то до­пол­нить ее нулями до нужного числа разрядов;

  • рассмотреть каждую группу, как n-разрядное двоичное число, и заме­нить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2n.


Таблица перевода из двоичной системы в 16-ю и обратно

Десятичное значение

Двоичный код

Шестнадцате-ричная цифра

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1101

E

15

1111

F

Часть таблицы, выделенная бирюзовым, может использоваться для перевода из 2-й системы в 8-ю и обратно.

Примеры:

  1. Переведем число 11101.001112 из двоичной системы в восьмеричную.

Разбиваем двоичное число на тройки цифр:

11101.001112 = 011 101.001 1102 = 35.168

Заменяем каждую тройку двоичных цифр соответствующей 8-й цифрой (см. таблицу).


Для перевода числа из 8-й системы счисления в 2-ю нужно каждую 8-ю цифру заменить тройкой двоичных цифр (рассмотрите тот же пример справа-налево).


  1. Переведем число 10000.1101112 в 16-ю систему.

Разбиваем двоичное число на четверки цифр:

10000.1101112 = 0001 0000.1101 11002 = 10.DC16

Заменяем каждую четверку двоичных цифр соответствующей 16-й циф­рой (см. таблицу).

Для перевода числа из 16-й системы счисления в 2-ю нужно каждую 16-ю цифру заменить четверкой двоичных цифр (рассмотрите тот же пример спра­­ва-налево).
^

Примеры двоичного кодирования информации



Среди всего разнообразия информации, обрабатываемой на компьютере, значительную часть составляют числовая, текстовая, графическая и аудио­ин­формация. Познакомимся с некоторыми способами кодирования этих типов информации в ЭВМ.
^

Кодирование чисел



Существуют два основных формата представления чисел в памяти ком­пьютера. Один из них используется для кодирования целых чисел, второй (так называемое представление числа в формате с плавающей точкой) используется для задания некоторого подмножества действительных чисел.
^

Кодирование целых чисел


Множество целых чисел, представимых в памяти ЭВМ, ограничено. Ди­а­пазон значений зависит от размера области памяти, используемой для раз­ме­ще­ния чисел. В k-разрядной ячейке может храниться 2k различных значе­ний целых чисел.

Целые числа могут занимать 1, 2, 4 или 8 байт (для 64-разрядных ма­шин).

Чтобы получить внутреннее представление целого положительного чис­ла N, хранящегося в k-разрядном машинном слове, необходимо:


1. перевести число N в двоичную систему счисления;

2. полученный результат дополнить слева незначащими нулями до k разрядов.

Код целого числа может рассматриваться как двоичное число со знаком или без знака.

При беззнаковом представлении все разряды используются для за­писи значения числа.

Пример:

Число 107 = 11010112 будет записано:

в 1 байт как 01101011

в 2 байта как 00000000 01101011

1-й байт 0-й байт

в 4 байта как 00000000 00000000 00000000 01101011

3-й байт 2-й байт 1-й байт 0-й байт


Минимальное беззнаковое число равно 0. Максимальное беззнаковое число равно 2n – 1, где n – кол-во двоичных разрядов, используемых для за­писи числа.

Например для 2-хбайтового представления max =11111111 111111112 =
1 00000000 00000000 – 1 = 216 – 1 = 65 535


Для записи чисел со знаком старший (левый) разряд отводится под знак числа. Если число неотрицательное, то в знаковый разряд записывается 0, в противном случае – 1, т.е. единица в знаковом разряде означает знак “ми­нус”.

Целые числа со знаком могут быть записаны в прямом, обратном и до­пол­­нительном коде.

В прямом коде число хранится в виде: знак+абсолютное значение (мо­дуль) числа.

В обратном коде в значении числа нули заменяют на единицы, а едини­цы на нули.

Дополнительный код получают путем прибавления 1 к обратному.

Обратный и дополнительный код неотрицательных чисел совпадает с прямым.

Обратный и дополнительный коды чисел позволяют заменить операцию вычитания сложением с отрицательным числом, что существенно упрощает устройство процессора. Варианты арифметических операций будут рас­смот­рены ниже.


Пример. Рассмотрим внутреннее представление целого отрицательного числа: -6 = 1102.

Однобайтовое:

Прямой код: 1000 0110

Обратный код: 1111 1001

Дополнительный: 1111 1001

+ 1

1111 1010

Четырехбайтовое:

Прямой код: 10000000 00000000 00000000 00000110

Обратный код: 1111111 1111111 11111111 11111001

Дополнительный: 1111111 1111111 11111111 11111001

+ 1

1111111 1111111 11111111 11111010


Для того, чтобы получить значение отрицательного числа, записанного в дополнительном коде, можно использовать один из двух алгоритмов:

1) вычесть 1 из дополнительного кода (получаем обратный код) и заме­нить все нули на единицы, а единицы на нули;

2) сначала заменить все нули на единицы, единицы на нули, затем при­ба­вить единицу к результату.

Пример: возьмем однобайтовый доп. код : 1111 1010 и используем второй алгоритм: 1111 1010 -- > - (0000 0101 + 1) = - 1102 = -6.

^ Диапазон значений знаковых чисел

Рассмотрим однобайтовое представление. Возможные дополнительные коды знаковых чисел:

0111 1111

. . .

0000 0001

0000 0000

1111 1111

1111 1110 Отрицательные числа

. . .

1000 0000

Рассмотрим десятичные значения этих чисел:

0111 1111 = 27 – 1 = 128 - 1 = 127

0000 0001 = 1

0000 0000 = 0

1111 1111 -> -(000 0000 + 1) = -1

1111 1110 -> -(000 0001 + 1) = -2

1000 0000 -> -(111 1111 + 1) = -(1000 0000) = -27 = -128

Таким образом диапазон значений знаковых однобайтовых чисел:
от -128 до 127.

Аналогично, диапазон значений двухбайтовых целых чисел:
-215 - +(215 -1) (от -32768 до 32767).

Диапазон значений четырехбайтовых целых чисел со знаком:
-231 - +(231 – 1) (от -2 147 483 648 до 2 147 483 647)
^

Сложение и вычитание целых чисел



В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию арифметико-логического устройства процессора.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

^ 1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:





Получен правильный результат.

^ 2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:





Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = –710.

^ 3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:





Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.


^ 4. А и В отрицательные. Например:




Полученный первоначально неправильный результат (обратный код чис­ла –1110 вместо обратного кода числа –1010) компьютер исправляет перено­сом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = –1010.

Переполнение

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды ре­зуль­тата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Та­кая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в ком­пью­тере используются специальные средства. Ниже приведены два возмож­ных случая переполнения.

^ 5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2n–1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2n–1 = 27 = 128). Например:




Обратите внимание: в результате сложения положительных чисел полу­чен отрицательный результат!

Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для раз­мещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несов­па­де­ние знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством пере­полнения разрядной сетки.


^ 6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2n–1. Например:




В результате сложения отрицательных чисел полу­чен результат > 0!

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что сви­де­тельствует о переполнении разрядной сетки.


Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмот­рен­ные выше шесть случаев:

^ 1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотрен­но­го для обратного кода (коды неотрицательных чисел совпадают).

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:
 




Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в пря­мой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему раз­ря­ду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –710.

^ 3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:





Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

^ 4. А и В отрицательные. Например:
 




Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу пере­носа из знакового разряда компьютер отбрасывает.

^ Случаи переполнения

Для обнаружения переполнения разрядной сетки знаковый разряд дуб­ли­руется. Такое представление чисел называется модифицированным допол­нительным кодом:

1) 65 00 100 0001

+ 97 + 00 110 0001

162 01 010 0010

Разные цифры в знаковых разрядах свидетельствуют о том, что произошло переполнение.

2) -65 11 011 1111

+ -97 + 11 001 1111

-162 10 101 1110

Переполнение!

Для проверки знаковых разрядов используют результат операции “ис­клю­­чающее ИЛИ”, которая дает значение 1 только если операнды различны.


^ Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со зна­ком показывает:

на преобразование отрицательного числа в обратный код компью­тер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнитель­ный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел мень­ше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет пе­реноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата, поэтому для ускорения выполнения расчетов используют дополнительный код.

^

Умножение и деление


Во многих компьютерах умножение производится как последователь­ность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции со­держит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно раз­мещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завер­ше­нии операции — окончательный результат.

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вна­ча­ле содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержа­ще­еся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.





Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реа­лизуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного ко­да делителя.

^

Кодирование вещественных чисел



Формат с плавающей точкой использует представление вещест­вен­но­го числа R в виде произведения мантиссы m на основание системы счисления q в некоторой целой степени p, которую называют порядком: R = m * q p.


Представление числа в форме с плавающей точкой неоднозначно. Например, справедливы следующие равенства:


12.345 = 0.0012345 * 104 = 1234.5 * 10-2 = 0.12345 * 102


Чаще всего в ЭВМ используют нормализованное представление числа в форме с плавающей точкой. Мантисса в таком представлении должна удов­летворять условию: 0.1p <= m < 1. Иначе говоря, мантисса должна быть мень­ше 1 и первая значащая цифра - не ноль (p - основание системы счисления).


В памяти компьютера мантисса представляется как целое число, содер­жа­щее только значащие цифры (0 целых и запятая не хранятся), так для чис­ла 12.345 в ячейке памяти, отведенной для хранения мантиссы, будет сохра­нено число 12345. Для однозначного восстановления исходного числа оста­ется сохранить только его порядок, в данном примере - это 2.

Диапазон и точность представления чисел зависят от числа разрядов, от­водимых под порядок и мантиссу. Обычно число в формате с плавающей за­пя­той занимает в памяти 4 (float) или 8 (double) байтов.

В большинстве вычислительных машин для упрощения операций над по­рядками их приводят к целым положительным числам, применяя так назы­ваемый смещенный порядок. Для этого к истинному порядку добавляется це­лое положительное число, равное половине представимого диапазона по­ряд­ков.

Числа с плавающей запятой в разных вычислительных машинах (ВМ) име­ют различные форматы. В настоящее время для всех ВМ рекомендован стандарт, разработанный международным центром стандартизации IEEE (In­stitute of Electrical and Electronics Engineers).

^ Стандарт IEEE 754

Рекомендуемый для всех ВМ формат представления чисел с плаваю­щей запятой определен стандартом IEEE 754. Этот стандарт был разработан с целью облегчить перенос программ с одного процессора на другие и нашел ши­рокое применение практически во всех процессорах и арифметических сопроцессорах.





Рис. 2.24. Основные форматы IEEE 754: а — одинарный; б — двойной

Стандарт определяет 32-битовый (одинарный) и 64-битовый (двойной) фор­маты (рис. 2.24) с 8- и 11-разрядным порядком соответственно. Самый левый бит хранит знак числа. Основанием сис­темы счисления является 2.

Смещение равно соответственно 127 и 1023.

Максимальный порядок, который может иметь число: 127 и 1023.

Для повышения точности представления мантиссы используют прием скрытой единицы: поскольку в нормализованной мантиссе старшая цифра всегда равна 1, ее можно не хранить. Следовательно, при 4-хбайтовом пред­ставлении, мантисса фактически состоит из 24 разрядов. Скрытая единица при выполнении арифметических операций восстанавливается, а при записи результата удаляется.


Пример: рассмотрим 4-хбайтовый код числа 20.5:

20.5 = 10100.12 = 0.101001 * 25

Порядок (смещенный): 5+127 = 132 = 1000 01002

Мантисса: 101001  010010…0 (первая единица – скрытая, в конец мантиссы добавляются нули).


4-хбайтовое представление:


0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

порядок мантисса


В 16-ом виде этот код будет выглядеть так: 42240000.


Определим максимальное число и его точность при 4-хбай­товом пред­ставлении.

Максимальное число:

.1…1 * 2127 = 1 * 2127 = 1.7 * 1038

Максимальное значение мантиссы:

1…1 (24 единицы) = 224 – 1 = 210*2.4 = 10242.4 = 1.7*107, следовательно точность представления мантиссы 7-8 значащих цифр.
^

Арифметические операции с числами в формате с плавающей запятой


Сложение и вычитание

Производятся в несколько этапов:

  1. Выравниваются порядки чисел в сторону большего (чтобы не получить мантиссы > 1)

  2. Складываются мантиссы. Для представления отрицательных чисел ис­поль­зуется модифицированный дополнительный код. Порядок суммы бу­дет равен общему порядку слагаемых.

  3. Нормализуется результат: порядок и мантисса изменяются так, чтобы пер­вая значащая цифра результата попала в первый разряд после запятой.


Пример 1: Вычесть из числа A = 20.0 число B = 11.0.

A = 20 = 101002 = .101 * 25 = .101 * 10101 (все числа –двоичные)

B = 11 = 10112 = .1011 * 24 = .1011 * 10100

Процессор для определения разности порядков вычитает из порядка числа A порядок числа B и получает 1. Т.к. порядок числа A на единицу больше порядка числа B, порядок числа B увеличивается на 1 и мантисса при этом сдвигается на 1 разряд вправо относительно точки:

B = .01011 * 10101

Мантисса числа B должна быть записана как отрицательное число (нуж­но выполнить вычитание):

B = -010110…0 = 1|101001…1 = 1|101010…0

Обратный код Дополнительный

Сложение мантисс в модифицированном дополнительном коде:

00| 1010 00…0 (число A)

+ 11| 1010 10…0 (число B)

1| 00| 0100 10…0 (сумма, порядок = 1012)



Произошло нарушение нормализации.

Нормализация результата: мантисса сдвигается влево, порядок уменьша­ется: A - B = .1001* 10100 = 10012 = 9.0


Пример 2: Сложить A = 5.0 и B = 28.0.

A = 5 = 1012 = .101 * 25 = .101 * 1011 (все числа –двоичные)

B = 28 = 111002 = .111 * 25 = .111 * 10101

Процессор для определения разности порядков вычитает из порядка числа A порядок числа B и получает -2. Т.к. порядок числа A на 2 меньше порядка числа B, порядок числа A увеличивается на 2 и мантисса при этом сдвигается на 2 разряда вправо относительно точки:

A = .00101 * 10101

Сложение мантисс в модифицированном коде:

00| 0010 10…0 (число A)

+ 00| 1110 00…0 (число B)

01| 0000 10…0 (сумма, порядок = 1012)




Произошло нарушение нормализации.

Нормализация результата: мантисса сдвигается вправо, порядок увеличивается: A + B = .100001* 10110 = 1000012 = 33.0


При сложении и вычитании чисел с плавающей запятой при сложении мантисс переполнение не фиксируется. Переполнение может возникнуть в процессе нормализации, если порядок превысит максимально допустимый.


Умножение и деление


При умножении чисел в формате с плавающей запятой порядки склады­ва­ют­ся, а мантиссы перемножаются, затем результат нормализуется.

При делении из порядка делимого вычитается порядок делителя, а ман­тисса делимого делится на мантиссу делителя, затем результат нормализует­ся.

^

Двоично-десятичное кодирование информации



Двоично-десятичный код — ( binary-coded decimal [BCD] ) форма записи целых чисел, когда каждый десятичный разряд числа записывается в виде его четырёхбитного двоичного кода (вместо каждой десятичной цифры за­пи­сы­ва­ют ее двоичное значение). Например, десятичное число 310 будет за­пи­сано в двоичном коде как 1001101102, а в двоично-десятичном коде как 0011 0001 0000BCD.
^

Преимущества и недостатки


Преимущества

  • Упрощён вывод чисел на индикацию — вместо последовательного деле­ния на 10 требуется просто вывести на индикацию каждый полубайт. Аналогично, проще ввод данных с цифровой клавиатуры.

  • Для дробных чисел (как с фиксированной, так и с плавающей запятой) при переводе в человекочитаемый десятичный формат и наоборот не те­ряется точность.

  • Упрощены умножение и деление на 10, а также округление.

По этим причинам двоично-десятичный формат применяется в каль­ку­ля­торах — калькулятор в простейших арифметических операциях должен выводить в точности такой же результат, какой подсчитает человек на бу­ма­ге.

Недостатки

  • Усложнены арифметические операции.

  • Требует больше памяти.

  • В двоично-десятичном коде BCD существуют запрещённые комбинации битов:

Запрещённые в BCD битовые комбинации:

1010 1011 1100 1101 1110 1111


Запрещённые комбинации возникают обычно в результате операций сложе­ния, так как в BCD используются только 10 возможных комбинаций 4-х битового поля вместо 16. Поэтому, при сложении и вычитании чисел фор­ма­та BCD действуют следующие правила:

  • При сложении двоично-десятичных чисел каждый раз, когда происхо­дит перенос бита в старший полубайт, необходимо к полубайту, от ко­торого произошёл перенос, добавить корректирующее значение 0110.

  • При сложении двоично-десятичных чисел каждый раз, когда встреча­ет­ся недопустимая для полубайта комбинация, необходимо к каждой не­до­пустимой комбинации добавить корректирующее значение 0110 с раз­решением переноса в старшие полубайты.

  • При вычитании двоично-десятичных чисел, для каждого полубайта, по­лучившего заём из старшего полубайта, необходимо провести кор­рек­­цию, вычитая значение 0110.

Пример операции сложения двоично-десятичных чисел:

Требуется: Найти число A = D + C, где D = 3927, C = 4856

Решение: Представим числа D и C в двоично-десятичной форме: D = 3927 = 0011 1001 0010 0111 C = 4856 = 0100 1000 0101 0110

Суммируем числа D и С по правилам двоичной арифметики:


* **

0011 1001 0010 0111

+ 0100 1000 0101 0110

___________________

= 1000 0001 0111 1101 - Двоичная сумма

+ 0110 0110 - Коррекция

___________________

1000 0111 1000 0011

'*' — тетрада, из которой был перенос в старшую тетраду

'**' — тетрада с запрещённой комбинацией битов

В тетраду, помеченую символом *, добавляем шестёрку т.к по правилам дво­ичной ариф­метики перенос унёс с coбой 16, а по правилам десятичной ариф­метики должен был унести 10. В тетраду, помеченую символом ** , до­ба­в­ля­ем шестёрку, так как комбинация битов 1101 (что соответствует десятичному чис­лу 13) является запрещённой.





Похожие:

5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconГ. И. Гладков Координатор мгимо (У) по Болонскому процессу Современные тенденции в развитии Болонского процесса
Европейских приложений к диплому (вот уже четыре года все выпускники магистратур мгимо (У) получают Европейские приложения бесплатно),...
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconТема: Выездной туризм, описание туристического маршрута
Предоставляются зимние, летние, весенние и осенние туры – по выбору туриста. Семейным парам с детьми предоставляются скидки. Если...
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconОписание системы eis mvs gt что такое eis mvs gt ? Система eis mvs gt предназначена для обеспечения клиентов зао «мвс глобальные Телекоммуникации»
Зао «мвс глобальные Телекоммуникации» (09: 00-18: 00 msk) возможно увеличение времени реакции системы. Система eis mvs gt доступна...
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconКак подготовиться к гиа
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы психолога
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы психолога
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы психолога
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы психолога
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы психолога
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
5ege ru – все для подготовки к егэ абсолютно бесплатно! iconСоветы выпускникам
В экзаменационную пору всегда присутствует психологическое напряжение. Стресс при этом абсолютно нормальная реакция организма
Разместите ссылку на наш сайт:
Справочники, творчество


База данных защищена авторским правом ©dmee.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты