Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика icon

Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика



НазваниеСправочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика
Дата17.10.2016
Размер
ТипСправочник


Министерство образования и науки Российской Федерации

ГОУ ВПО Костромской государственный технологический университет


Кафедра высшей математики


Чередникова А. В.

Землякова И. В.

Садовская О. Б.


Справочник по специальным главам математики


Кострома

2009

Оглавление:

Глава 1. Дискретная математика……………………………………………3

§1.1. Элементы теории множеств……………………………………………....3

§1.2. Основные алгебраические множества…………………………………...5

§1.3. Элементы комбинаторики………………………………………………...7

§1.4. Элементы математической логики……………………………………….9

§1.5. Элементы теории графов…………………………………………………12

Глава 2. Элементы линейной и общей алгебры…………………………...12

§2.1. Линейные преобразования векторного пространства Rn ………………12

§2.2.Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования пространства Rn ………………………………………………14

§2.3. Квадратичные формы …………………………………………………….15

§2.4. Алгебра многочленов……………………………………………………..17

Глава 3. Элементы комплексного анализа. Вычеты……………………...17

Глава 4. Элементы дифференциальной геометрии. Кривизна плоской кривой…………………………………………………………………………...18


Глава 1. Дискретная математика

§ 1.1. Элементы теории множеств

п. 1.1.1. Операции над множествами

Объединением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.

или

С=

Пересечением двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.

и

С=


Разностью двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежит множеству В.

и и

С= С=

Декартовым (прямым) произведением множеств А и В называется множество упорядоченных пар, где первый элемент принадлежит первому множеству, а второй – второму.

Пример. Пусть А={3, 8}, В={a, b, c}. Тогда ={(3,а), (3,b), (3,c), (8,a), (8,b), (8,c)}

п. 1.1.2. Числовые множества

N={1,2,3,…,n,…} – множество натуральных чисел.

Z={0, } – множество целых чисел.

Q={ – множество рациональных чисел.

Любое рациональное число выражается конечной десятичной дробью или бесконечной периодической (чистой или смешанной) десятичной дробью. Например, , .

Множество I иррациональных чисел – это множество всех бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, .

– множество действительных (вещественных) чисел. Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой.

– множество комплексных чисел. Комплексное число z=x+iy изображается точкой плоскости Oxy с координатами (x, y).

п. 1.1.3. Мера множества

Мера множества – обобщение понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объема тела на множества более общей природы. Меру множества определяют аксиоматически.

Мерой плоского множества является площадь, трехмерного – объем, а линейного – длина.

п. 1.1.4. “Эпсилон – окрестность” точки

Окрестностью точки а называется любой интервал, содержащий эту точку.

“”Эпсилон - окрестностью” ( - окрестностью) точки а называется открытый интервал (а-, а+), симметричный относительно точки а.


а-

а+

а

Если точка (М имеет координаты (x, y)), то -окрестностью называется внутренняя часть круга с центром в точке М и радиусом .

п.1.1.5. Отображение множеств

Отображением множества А в множество В называется некоторое правило (закон) f , согласно которому каждому элементу а множества А сопоставляется единственный элемент b множества В. При этом пишут: и b=f(a).

Элемент b называется образом элемента а, элемент а называется прообразом элемента b.

Отображения называют также функциями. Если А и В – числовые множества, то отображение f является числовой функцией.

Пример.


§ 1.2. Основные алгебраические структуры.

п.1.2.1. Бинарные алгебраические операции и их свойства.

Бинарной алгебраической операцией на множестве Ø называется отображение в множество А.

Другими словами, операция, заданная на множестве А будет являться бинарной алгебраической операцией на множестве А, если каждой паре элементов из множества А соответствует единственный элемент того же множества.

“Операция является бинарной алгебраической операцией на множестве А” эквивалентно следующим:

  1. На множестве А определена операция.

  2. Множество А замкнуто относительно операции (то есть результат операции принадлежит множеству А).

  3. Бинарная операция ( например, арифметическое действие) всегда выполнима и однозначна на множестве А.

Замечание: На множестве натуральных чисел N всегда выполнимы (определены) только сложение и умножение; на множестве целых чисел Z – сложение, вычитание и умножение; на множествах Q, R и C – все арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление).

^ Бинарная алгебраическая операция : на множестве А обладает свойством коммутативности, если () xy=yx (то есть от перемены местами элементов x и y результат не меняется).

Бинарная алгебраическая операция на множестве А обладает свойством ассоциативности, если ( ) .

Бинарная алгебраическая операция дистрибутивна относительно бинарной алгебраической операции на множестве А, если

() и

.

п. 1.2.2. Группы, кольца, поля.

Множество G относительно бинарной алгебраической операцией образует группу, если выполняются следующие условия:

1) – ассоциативная операция;

2) В множестве G существует нейтральный элемент относительно операции, т. е. ;

3) Все элементы G имеют симметричные, т. е. .

Группа называется коммутативной (абелевой), если бинарная операция коммутативна, т. е. .

Множество G относительно бинарных алгебраических операций сложения и умножения образует кольцо (точнее ассоциативное кольцо с единицей), если выполняются следующие условия:

  1. G образует коммутативную группу относительно сложения;

  2. G образует моноид относительно умножения (т.е. умножение ассоциативно на G и существует нейтральный элемент относительно умножения);

  3. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

^ Кольцо называется коммутативным, если коммутативно умножение.

Множество G G относительно бинарных алгебраических операций сложения и умножения образует поле, если G относительно бинарных алгебраических операций сложения и умножения образует коммутативное кольцо, нуль кольца отличен от единицы кольца и всякий ненулевой элемент обратим (т.е. имеет относительно умножения симметричный элемент).

Пример. Множество целых чисел относительно сложения образует коммутативную группу; множество целых чисел относительно сложения и умножения образует коммутативное кольцо, но не поле; множества рациональных, действительных, комплексных чисел относительно сложения и умножения образуют поля.


п. 1.2.3. Векторное пространство Rn. Базис пространства.

Под арифметическим n-мерным вектором (кратко, вектором) понимают упорядоченную последовательность n действительных чисел:

, где xi, i=1,..,n.

Множество всех арифметических n-мерных векторов, с определенными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на действительное число образуют арифметическое n-мерное векторное пространство, обозначаемое через Rn.

Базисом пространства Rn является любая система из n линейно независимых векторов пространства.

Пусть

Система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда .

Любой вектор пространства Rn единственным образом разлагается по векторам базиса , где xi, i=1,..,n. Числа называются координатами вектора в базисе .

Для нахождения координат, например, вектора в базисе и необходимо решить систему

где x и y – искомые координаты, то есть .

§ 1.3. Элементы комбинаторики

Правила суммы и произведения

Пусть Х – конечное множество, состоящее из n элементов. Тогда говорят, что объект х из Х может быть выбран n способами и пишут |X|=n. Пусть Х1,…,Хn – попарно пересекающиеся множества, т.е. Хi ∩ Xj = Ø при i≠j. Тогда, очевидно, выполняется равенство

.

В комбинаторике этот факт называется правилом суммы. Для k=2 оно формулируется следующим образом: «Если объект x может быть выбран m способами, а объект y – другими n способами то выбор либо x, либо y может быть осуществлен m+n способами».

Правило произведения: «Если объект x может быть выбран v способами и после каждого из таких выборов объект y в свою очередь может быть выбран n способами то выбор упорядоченной пары (x,y) может быть осуществлен m∙n способами».

В общем случае правило произведения формулируется следующим образом: «Если объект x1 может быть выбран n1 способами, после чего объект x2 может быть выбран n2 способами и для любого i где 2 ≤ i ≤ m-1 после выбора объектов x1, ..., xi объект xi+1 может быть выбран ni+1 способами, то выбор упорядоченной последовательности из m объектов (x1, x2, ..., xn) может быть осуществлён n1∙n2∙…∙nm способами».

^ Размещения и сочетания

def. Набор элементов xi1,...,xik из множества Х = {x1, ... ,xn} называется выборкой объема k из n элементов или иначе (n,k)-выборкой.

def. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан.

Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов считаются различными.

def. Если порядок следования элементов в выборке не является существенным, то такая выборка называется неупорядоченной.

В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов.

def. Упорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы могут повторяться называется (n,k)-размещением с повторениями. Если элементы упорядоченной (n,k) – выборки попарно различны то она называется (n,k)-размещением без повторений или просто (n,k)-размещением. Будем, кроме того (n,n)-размещение без повторений называть перестановками множества X.

def. Неупорядоченная (n,k)-выборка, в которой элементы могут повторяться называется (n,k)-сочетанием с повторениями. Если элементы неупорядоченной (n,k)-выборки попарно различны то она называется (n,k)-сочетанием без повторений или просто (n,k)-сочетанием.

Заметим что любое (n,k)-сочетание можно рассматривать как k-элементное подмножество n-элементного множества.

Число (n,k) – размещений с повторениями обозначаем через , а без повторений – через . Число перестановок n- элементного множества обозначается через Pn (т.е. Pn =). Число (n,k) – сочетаний с повторениями обозначаем через , а без повторений – .

Соглашение. 0! = 1.

Утверждение 1. при k ≤ n и = 0 при k > n.

Следствие.

Утверждение 2. при k ≤ n и = 0 при k > n.

Утверждение 3. .

Перестановки с повторениями

Имеется n элементов, которые можно разбить на k групп, так что элементы, входящие в одну группу не различимы между собой и отличны от элементов в другие группы. Число элементов в каждой группе равно соответственно n1,n2,...nk , т.е. n1 + n2+..+nk = n.

def. Перестановкой с повторениями из n элементов называется кортеж длины n составленный из этих элементов.

Обозначается

^ Схема определения вида комбинаторной конфигурации


Бином Ньютона


§1.4. Элементы математической логики

Логические операции: конъюнкция ( или &), дизъюнкция (), импликация (), эквиваленция (), отрицание (или).

^ Таблица истинности:

А

В

АВ




А

В

AB




А

В

АВ




А

В

АB

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1



А



0

1

1

0


Основные равносильности:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Формальный язык логики высказываний

def. Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется произвольная конечная последовательность символов (возможно, пустая). Слово а называется подсловом слова b, если b=b1ab2 для некоторых слов b1 и b2.

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы: высказывательные переменные X1, X2 , …; логические символы , ; символы скобок (,).

def. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, если оно удовлетворяет следующему определению:

  1. любая высказывательная переменная – формула;

  2. если А и В – формулы, то () – формулы.

  3. только те слова являются формулами, для которых это следует из 1) и 2).

def. Подформулой формулы А называется любое подслово А, само являющееся формулой.

Для упрощения записи можно в формуле опускать внешние скобки и те пары скобок, в которые заключены подформулы, к которым относятся символ .

^ Пример. Из записей:

1)4)

формулой алгебры логики высказываний является третье.

Принцип двойственности для булевых формул

Одна и та же логическая функция может быть задана формулами, включающими различные наборы логических операций. Существуют наборы логических операций, с помощью которых можно выразить любые другие логические функции. Такие наборы называются функционально полными системами.

Наиболее хорошо изученной является полная система булевых функций {}. Формулы, содержащие кроме переменных (и скобок) только знаки функций {}, называются булевыми.

^ Принцип двойственности для булевых формул: “Двойственная к булевой формуле может быть получена заменой констант 0 на 1, 1 на 0, на , на ” и сохранением структуры формулы (т.е. соответствующего порядка действий).

Пример. Формула, реализующая функцию двойственную к функции , имеет вид .

^ Совершенные нормальные формы булевых функций

Пусть – логическая переменная, . Введем обозначение . Выражение

называется литерой. Литеры и называются контрарными.

Отметим, что тогда и только тогда, когда .

^ Элементарной конъюнкцией, или конъюнктом называется конъюнкция литер. Элементарной дизъюнкцией, или дизъюнктом называется дизъюнкция литер.

Например, формулы и – дизъюнкты, формулы и – конъюнкты, является одновременно и дизъюнктом, и конъюнктом, а формула не является ни элементарной дизъюнкцией, ни элементарной конъюнкцией.

Дизъюнкция конъюнктов называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ); конъюнкция дизъюнктов называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Например, формула – ДНФ, формула – КНФ, а формула является одновременно КНФ и ДНФ.


§1.5. Элементы теории графов

Матрицей смежности вершин графа называется квадратная матрица порядка n, где n – число вершин графа, строки и столбцы которой соответствуют вершинам графа. Элементы pij матрицы смежности вершин равны числу дуг, идущих из i-й вершины в j-ю.

В случае неориентированного графа матрица смежности вершин будет симметричной относительно главной диагонали.

^ Полным путем в ориентированном графе называется путь из начальной вершины s (из которой дуги только выходят, т. е. полустепень захода вершины s равна P-(s)=0) в конечную вершину t (в которую дуги только заходят, т. е. полустепень исхода вершины t равна P+(t)=0).

Пример 1. Для ориентированного графа, изображенного на рисунке


полными путями являются:

1)L1:0; 2) L2:0; 3) L3:0

Здесь 0 – начальная вершины, а 4 – конечная вершина.

Пример 2. Если ориентированный граф представлен матрицей смежности, то для определения существующих в нем полных путей рекомендуется построить диаграмму. в нашем случае она имеет вид:






А

В

С

D

A

0

1

1

1

B

0

0

1

0

C

0

0

0

0

D

0

1

1

0


Очевидно, что начальной вершиной является А, а конечной – С. Тогда полные пути:

1)L1:А ; 2) L2:А ; 3) L3:А; 4) L4:А. Всего четыре полных путей.


Глава 2. Элементы линейной и общей алгебры.

§2.1. Линейные преобразования (линейные операторы) векторного пространства Rn

Будем говорить, что в пространстве Rn задано преобразование (отображение) А, если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор А. Преобразование А называется линейным, если для любых векторов и и для любого действительного числа  выполняются равенства А(+)=А+А, А()=А.

Пусть в пространстве Rn , базис которого , задано линейное преобразование (линейное отображение) А. Так как – векторы пространства Rn, то каждый из них можно разложить единственным способом по векторам базиса:

(1)

Матрица А= (2) называется матрицей линейного преобразования А в базисе . Столбцы этой матрицы составлены из коэффициентов в формулах преобразования базисных векторов.

Координаты () вектора А выражаются через координаты () вектора по формулам

(3)

^ Эти n равенств можно назвать линейным преобразованием А в базисе . Коэффициенты в (3) являются элементами строк матрицы (2).

Равенства (3) в матричной форме имеют вид: , где , , А – матрица линейного преобразования.

Пример. Линейное отображение задано в стандартном базисе () матрицей А=. Тогда координаты образа

вектора определяются, как =y1=a11x1+a12x2,

y2=a21x1+a22x2

В частности, если А=, , то координатами образа вектора является .

§ 2.2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования пространства Rn

Ненулевой вектор называется собственным вектором преобразования А (матрицы А), если существует такое действительное число , что выполняется равенство:

А (1)

Число  при этом называется собственным значением линейного преобразования А соответствующим собственному вектору .

Множество всех собственных значений матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее собственному значению , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных линейных уравнений .

Пример 1. Собственные значения собственных векторов линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А=, могут быть найдены по формуле =0, так как - - .

Пример 2. Собственные значения оператора линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А=, могут быть найдены по формуле (1-)(4-)-6=0, в свою очередь

=(1-)(4-)-6.

§ 2.3. Квадратичные формы

Квадратичной формой n переменных называется сумма вида

,

где aij называютсякоэффициентами квадратичной формы (aij).

Таким образом, квадратичная форма – функция n переменных f(x1,x2,…,xn) специального вида.

Так как

то коэффициенты aij= aji (2).

^ Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов и имеющая вид:

А= (3)

Заметим, что А – симметрическая матрица, т. е. ее элементы симметричны относительно главной диагонали. Каждой квадратичной форме (1) n переменных соответствует единственная симметрическая матрица (3). Справедливо и обратное.

Пример 1. Записать матрицу квадратичной формы

f(x1,x2,…,xn)=x12-6x1x2-8x1x2+7x22+4x2x3-5x32

Решение. В данном случае a11=1, a12=a21=-3, a13=a31=-4, a22=7, a23=a32=2,

a33=-5, поэтому

А=.

Рассмотрим квадратичную форму f(x1,x2,…,xn) (1).

Перейдем к новым переменным y1,y2,y3,…,yn по формулам

(4)

или в матричном виде X=BY, где

, B=, (5)

В квадратичной форме (1) вместо подставим их выражение через y1,y2,y3,…,yn , определяемые формулами (4), получим квадратную форму n переменных y1,y2,y3,…,yn. В этом случае говорят, что квадратичная форма f(x1,x2,…,xn) переводится в квадратичную форму линейным однородным преобразованием (4). Линейное однородное преобразование (5) называется невырожденным, если .

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну из них в другую. Квадратичная форма f(x1,x2,…,xn ) называется канонической , если она не содержит произведений различных переменных, т. е.

f(x1,x2,…,xn)= (6)

Например, квадратичная форма f(x1,x2,x3,,x4)=6x12+4x32-3x42, для которой , имеет канонический вид.

Теорема. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Пример 2. Привести к каноническому виду квадратичную форму f(x1,x2,,x3)=x12+2x1x2+2x1x3+2x22+4x2x3+7x32 .

Решение. Сгруппируем все члены, содержащие неизвестное x1, и дополним их до полного квадрата:

f(x1,x2,x3)=(x12+2x1x2+2x1x3)+2x22+4x2x3+7x32=(x12+2x1(x2+x3)+ (x2+x3)2)- (x2+x3)2+2x22+7x32+4x2x3=( x1+x2+x3)2+ x22+6 x32+2 x2x3.

В дальнейшем полный квадрат, содержащий неизвестное x1, не изменяется. Среди оставшихся членов сгруппируем все, содержащие x2, и дополним их до полного квадрата:

f(x1,x2,x3)=( x1+x2+x3)2+ (x22+2 x2x3+ x3)- x32+6 x32)=( x1+x2+x3)2+ (x2+x3)2 - x32+5x32.

Теперь перейдем от неизвестных x1,x2,x3 к известным y1,y2,y3 по формулам


В результате этого перехода получим канонический вид данной квадратичной формы:

.

§2.4. Алгебра многочлена

Известно, что для многочлена f(x)=a0+a1x+a2x2+…+an-1xn-1+anxn сумма всех комплексных корней равна –an-1.

Пример 1. Если x1,x2,x3 – корни многочлена f(x)=x3+5x2+7x+4, то x1+x2+x3=-5.

Множество всех многочленов степени, не превышающей натурального числа n, с операциями сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует (n+1)-мерное векторное пространство. Базис этого пространства образует, например, многочлены 1,x,x2,…,xn.

Пример 2. Координаты многочлена f(x)=3+2x-4x2-3x3 в базисе 1,x,x2,…,xn равны (3;2;-4;-3).

Глава 3. Элементы комплексного анализа

Вычеты

Пусть функция комплексного переменного f(z) аналитична в некоторой окрестности U конечной точки z0 (кроме, быть может, самой точки z0). Вычетом функции f(z) в точке z0 называется число

,

где  - некоторый замкнутый контур, целиком лежащий в U и содержащий внутри точку z0, а - окружность с центром в точке z0 достаточно малого радиуса , целиком лежащая против часовой стрелки.

Значения обоих приведенных интервалов при указанных условиях совпадает.

Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности конечной точки z0 (кроме, быть может, точки z0), т. е. в некотором кольце 0, но не аналитична в точке z0. В этом случае точка z0 называется изолированной особой точкой для функции f(z).

Изолированная особая точка z0 функции f(z) называется полюсом, если .

Точка является полюсом m-го порядка функции f(z) тогда и только тогда, когда функция f(z) представима в виде частного f(z)=, где функция (z) аналитична в точке z0, ( z0).

Если z0 –полюс 1-ого порядка для функции f(z), то .


Пример.


Глава 4. Элементы дифференциальной геометрии

^ Кривизна плоской кривой

Пусть дана кривая. Рассмотрим на этой кривой дугу длины . Проведем в точках М и М1 касательные к кривой. при переходе от кривой из точки М в точку М1 касательная поворачивается на угол , который называется углом смежности. Этот угол считается положительным.

^ Средней кривизной дуги называется отношение угла смежности к длине этой дуги: .

Кривизной данной кривой в ее точке М называется предел средней кривизны дуги при условии, что точка М1 неограниченно приближается по данной кривой к точке М.

(1)

Для вычисления кривизны кривой используют формулу:

(2)

В частности, кривизна окружности радиуса R в точке М , кривизна прямой в любой ее точке равна 0.

Пример 1. Найти кривизну линии y=x2-3x+4 в точке М(2;2).

Решение. Последовательно находим: .

По формуле (2) имеем



Радиусом кривизны R в данной точке кривой называется величина, обратная кривизне K:




Похожие:

Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconВопросы к билетам по кандидатскому минимуму для аспирантов математиков по философским проблемам математики
Предмет, метод и функции математики. Математика как феномен культуры. Математика и философия. Математика и искусство
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconНовикова Екатерина Владимировна учитель начальных классов Самара 2011 оглавление введение Глава История создания напитка. Глава Влияние колы на здоровье. Глава Проведенное исследование
Напиток кола («Кока-Кола», «Пепс и-кола» и другие) — изобретённый в США тип газированных сладких напитков, зачастую содержащих кофеин....
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconОбразовательная программа по направлению подготовки 010200Математика и компьютерные науки Профиль Алгебра и дискретная математика
«Об утверждении и введении в действие федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconОбразовательная программа по направлению подготовки 010200Математика и компьютерные науки Профиль Алгебра и дискретная математика
«Об утверждении и введении в действие федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconЛитература по общепрофессиональным и специальным дисциплинам (1 4 модули)
Агафонова М. Н. Налог на прибыль в схемах, таблицах, примерах (глава 25 нк рф). Бератор- пресс, Москва, 2003
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconПрограмма «математика» 2013-2014 учебный год
Основные этапы развития математики: взгляды на периодизацию А. Н. Колмогорова и А. Д. Александрова. Алгоритмический характер математики...
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconОглавление: Введение. 3 Глава Общая характеристика перемены лица в обязательстве. 7
Тема: “Перемена лиц в обязательствах в коммерческих отношениях (цессия и факторинг)”
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconРабочая программа курса «Математика»
М. И. Моро, Ю. М. Колягин, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова, С. И. Волкова, С. В. Степанова «Математика. 1 – 4 классы» (2009)
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconБобровская Елена Васильевна г. Рубцовск 2012 год Оглавление стр Введение 3-4 Глава Значение физминуток на урок
Тема «Создание электронных физминуток для снятия утомления с глазодвигательных мышц»
Справочник по специальным главам математики Кострома 2009 Оглавление: Глава Дискретная математика iconНе только учимся, но и творим! («Нематематическое» творчество на уроках математики) Формирование творческого начала на уроках математики
Слово «математика» не так часто употребляется в нашей повседневной жизни, разве что в
Разместите ссылку на наш сайт:
Справочники, творчество


База данных защищена авторским правом ©dmee.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты