Метод анализа сетей массового обслуживания с групповыми переходами требований
|
| МЕТОД АНАЛИЗА СЕТЕЙ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ГРУППОВЫМИ ПЕРЕХОДАМИ ТРЕБОВАНИЙ Ю. И. Митрофанов, Е. С. Рогачко, Е. П. Станкевич Саратовский государственный университет, Саратов, Россия Рассмотрим замкнутую сеть массового обслуживания N с  системами массового обслуживания  ,  ,  требованиями одного класса и маршрутной матрицей  ,  . Система включает одинаковых обслуживающих приборов с интенсивностью обслуживания  . Длительность обслуживания имеет экспоненциальное распределение. Состояние сети определяется вектором  , где  – число требований, находящихся в системе . Обозначим через  множество состояний сети,  – мощность множества ,  – множество номеров состояний,  – множество номеров систем массового обслуживания. Для синхронизации событий, реализуемых в сети в процессе ее функционирования, используется последовательность интервалов времени фиксированной длительности  , называемых слотами. Моменты начала и окончания слота  обозначим соответственно через  и  . Предполагается, что изменение состояния сети происходит вследствие переходов между системами групп требований и является результатом выполнения рассмотренной ниже последовательности действий.В момент определяется состояние сети  , в котором сеть пребывает в течение слота ,  – число требований, находящихся в системе в течение . В момент формируется вектор , требований, выходящих после завершения обслуживания из систем. Здесь  – число требований, выходящих из системы . Вектор  затем преобразуется в вектор  , , требований, входящих в конце слота в системы обслуживания сети. В векторе   – число требований, которые поступят в систему . Так как векторы и содержат одинаковое число требований, будет сформировано новое состояние  . Все векторы и далее будут называться векторами перемещений.В общем, в момент выполняются следующие действия:1) формируется вектор ; 2) реализуется алгоритм маршрутизации требований из групп  , , и формируются направляемые из в  подгруппы требований  ,  ,  ,  – множество номеров выходных смежных с систем; 3) из подгрупп требований ,  ,  ,  – множество номеров входных смежных с  систем, формируются группы поступающих в требований – компоненты  вектора ; 4) группы требований направляются в системы ;5) формируется очередное состояние сети .В течение слота в , , завершается обслуживание требований, которые до момента будут занимать обслуживающие приборы. Эти требования освободят приборы и перейдут в другие системы только в момент . Входящий поток  групп требований в систему является суммой потоков  ,  , групп требований в систему от входных смежных с систем . Все потоки ,  , будем считать пуассоновскими, тогда потоки  также являются пуассоновскими. Интенсивности потоков и обозначим соответственно через  и  . Если сеть находится в состоянии  , с интенсивностью  формируется вектор  , который затем с вероятностью  преобразуется в вектор , . На множестве  всех векторов перемещений определим маршрутную цепь Маркова  с вероятностями перехода [1] Так как невозможны переходы между векторами перемещений с различным числом требований, то в общем случае маршрутная цепь приводима. В множестве состояний  цепи  должен существовать, по крайней мере, один существенный класс состояний. Следовательно, существует, по крайней мере, одно стационарное распределение марковской цепи . Стационарное распределение маршрутной цепи должно удовлетворять уравнениям ,  ,таким, что  .Интенсивность перехода сети  из состояния в состояние  определяется выражением ,где  – интенсивность перехода маршрутной цепи из состояния  в состояние  .Предположим, что интенсивности перехода могут быть представлены в виде ,где  – интенсивность формирования вектора при пребывании сети в состоянии . Длительность обслуживания требования одним из приборов системы  в течение слота есть непрерывная случайная величина  . Вероятность завершения обслуживания требования в данном слоте  .Если в начале слота  в системе пребывает  требований (в процессе обслуживания), то вероятность завершения обслуживания в течение этого слота  требований определяется биномиальным распределением с параметром  ,  .Тогда для рассматриваемой сети  ,Пусть  – мощность множества  номеров выходных смежных с системой систем. Группа разбивается на подгрупп  ,  ,  , направляемых из системы в систему .Вероятности преобразования вектора в вектор [2] ,где  .Обозначим через  ,  , матрицу интенсивностей переходов сети , через  ,  , вектор стационарного распределения сети . Вектор  находится как решение уравнения  с условием  .Математическое ожидание (м. о.) числа требований в системе  ,интенсивность входящего потока одиночных требований в систему  ,интенсивность входящего в систему потока  групп требований  ,где  – м. о. числа требований в группах требований, поступивших в систему .В качестве примера приводятся результаты анализа сети с групповыми переходами требований. Параметры сети :  ,  ,  ,  ,  ,  , .В таблице приведены значения стационарных вероятностей состояний сети .Таблица Стационарные вероятности состояний сети
Векторы м. о. числа требований в системах сети  и интенсивностей потоков требований  равны ,  .Список литературы 1. Henderson W., Taylor P. G. Product form in networks of queues with batch arrivals and batch services // Queueing Systems. 1990. Vol. 6. P. 71–88. 2. Boucherie R. J., Dijk N. M. Product forms for queueing networks with state-dependent multiple job transitions // Adv. Appl. Probab. 1991. Vol. 23, № 1. P. 152–187. |
Похожие:
 | Содержание 1 Введение 2 Система массового обслуживания с ожиданием 3 Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа... | | Вопросы к экзамену по дисциплине «Экономический анализ» Цель, задачи, предмет, метод, объект, методика экономического анализа Система информационное обеспечение экономического анализа. Формирование аналитической информации и ее пользователи |
| Практикум по вычислительной математике Является частью требований к конкретным подпроектам Добавление требований для проверочных программ, удаление упоминаний о «скриптах» и matlab, уточнение многих требований | | Алгоритм разработки основной профессиональной образовательной программы Формирование программы целесообразно начинать с анализа требований фгос к трем основным составляющим |
| Алгоритм разработки основной профессиональной образовательной программы Формирование программы целесообразно начинать с анализа требований фгос к трем основным составляющим | | Практикум по вычислительной математике Является конкретизацией требований к проекту практикума в целом Содержание Создание документа из требований к подпроекту “C++”, выделение общих требований в отдельный документ; спец требования для Java |
| 1. Подготовительно-заключительное время рациональное Расчет нормативов затрат времени для составления рационального баланса времени смены (для операторов машинного доения) и определение... | | Российская Федерация Тверская область Спировский район Муниципальное образовательное учреждение средняя образовательная школа №2 п. Спирово Метод анализа конкретной ситуации при обучении «Основ безопасности жизнедеятельности» |
| Метод инженерии сбалансированной системы показателей на основе сети кохонена Ссп. Для решения этой не формализуемой задачи, требующей обработки больших массивов информации, проверки множества альтернативных... | | Алгоритм разработки рабочей программы профессионального модуля Формирование основной профессиональной образовательной программы (опоп) целесообразно начинать с анализа требований фгос к трем основным... |