Системы линейных уравнений
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида  где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы  , которую назовём матрицей системы.Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами. Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn. Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Рассмотрим способы нахождения решений системы. ^ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:  Рассмотрим матрицу системы  и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов  Найдем произведение  т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде  или короче A∙X=B.Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением. Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A:  . Поскольку A-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B. Примеры. Решить системы уравнений. Найдем матрицу обратную матрице A.  ,  Таким образом, x = 3, y = – 1. Итак, х1=4,х2=3,х3=5.
Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.  Найдем матрицу А-1.  Проверка: 
Из уравнения получаем  . Следовательно,  ^ Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,  называется определителем системы. Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов  Тогда можно доказать следующий результат. ^ Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём  Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:  Сложим эти уравнения:  Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца  .Далее рассмотрим коэффициенты при x2:  Аналогично можно показать, что и  .Наконец несложно заметить, что  Таким образом, получаем равенство:  .Следовательно,  .Аналогично выводятся равенства  и  , откуда и следует утверждение теоремы.Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна. Примеры. Решить систему уравнений Итак, х=1, у=2, z=3.
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.  . Поэтому  .
^ Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы. Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:  .Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:  Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на  , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1. При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами. Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:  и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса. Вернувшись к системе уравнений, будем иметь  Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.  Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет. Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.  Вернемся к системе уравнений.  Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.  Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. |
. Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком. 
, если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице. 
которая не имеет решений. 
и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yR. 
Похожие:
 | 5. системы линейных уравнений Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать,... | | Вопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности... |
| Вопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение» Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности... | | Контрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными |
| Вопросы и билеты для государственного экзамена по специальности Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений,... | | Вопросы и билеты для государственного экзамена по специальности Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений,... |
| Тема: «Решение систем линейных уравнений» 7 класс Гбскоу школа №3 Красногвардейского р-на с-петербурга учитель математики Антонюкова Е. Г | | «Элементы линейной и векторной алгебры» Вариант№7 Вычислить определитель Ответ: -8 Дана система линейных уравнений. Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1 по формулам Крамера; 2 матричным методом |
| Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Определение Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид | | Решение систем n уравнений из n неизвестными Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию... |