Системы линейных уравнений icon

Системы линейных уравнений



НазваниеСистемы линейных уравнений
Дата17.10.2016
Размер
ТипСправочники, творчество

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ





Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида



где aij и bi (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x1,…,xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aij первый индекс iобозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы.

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b1,…,bm называются свободными членами.

Совокупность n чисел c1,…,cn называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c1,…,cn вместо соответствующих неизвестных x1,…,xn.

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

  1. Система может иметь единственное решение.

  2. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, . Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком.

  3. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. Например, , если бы решение существовало, то x1 + x2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной.

Рассмотрим способы нахождения решений системы.


^ МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:



Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение



т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче AX=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A-1, обратную матрице A: . Поскольку A-1A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A-1B.

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A-1B.

Примеры. Решить системы уравнений.



Найдем матрицу обратную матрице A.

,

Таким образом, x = 3, y = – 1.



Итак, х1=4,х2=3,х3=5.

  1. Решите матричное уравнение: XA+B=C, где

Выразим искомую матрицу X из заданного уравнения.



Найдем матрицу А-1.



Проверка:



  1. Решите матричное уравнение AX+B=C, где

Из уравнения получаем .



Следовательно,

^ ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:



Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,



называется определителем системы.

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов



Тогда можно доказать следующий результат.

^ Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём



Доказательство. Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A11 элемента a11, 2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31:



Сложим эти уравнения:



Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

.

Далее рассмотрим коэффициенты при x2:



Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений



Итак, х=1, у=2, z=3.

  1. Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:

Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.

. Поэтому .



    1. При

    2. При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.

    3. При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yR.

^ МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x1. Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:



Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:



Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:



и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

  1. перестановка строк или столбцов;

  2. умножение строки на число, отличное от нуля;

  3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.



Вернувшись к системе уравнений, будем иметь





Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.



Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.



Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.



Вернемся к системе уравнений.

Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.



Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.







Похожие:

Системы линейных уравнений icon5. системы линейных уравнений
Исследование и нахождение решений систем линейных уравнений является одной из центральных задач линейной алгебры. Можно сказать,...
Системы линейных уравнений iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальностей «Судовождение» и
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
Системы линейных уравнений iconВопросы к контрольной работе по дисциплине «Высшая математика» для 1-го курса заочной формы обучения специальности «Судовождение»
Определители 2-го порядка. Системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными. Формулы Крамера. Условия совместности, несовместности...
Системы линейных уравнений iconКонтрольные вопросы по дисциплине «Высшая математика» для курсантов 1-го курса дневной формы обучения
Определители 2-го порядка. Решение системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными
Системы линейных уравнений iconВопросы и билеты для государственного экзамена по специальности
Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений,...
Системы линейных уравнений iconВопросы и билеты для государственного экзамена по специальности
Системы линейных алгебраических уравнений. Условие существования решения, решение систем по формулам Крамера и методом исключений,...
Системы линейных уравнений iconТема: «Решение систем линейных уравнений» 7 класс
Гбскоу школа №3 Красногвардейского р-на с-петербурга учитель математики Антонюкова Е. Г
Системы линейных уравнений icon«Элементы линейной и векторной алгебры» Вариант№7 Вычислить определитель Ответ: -8
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместимость и решить двумя способами: 1 по формулам Крамера; 2 матричным методом
Системы линейных уравнений iconСистемы обыкновенных дифференциальных уравнений
Определение Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид
Системы линейных уравнений iconРешение систем n уравнений из n неизвестными
Установив основные свойства и способы вычисления определителей матриц любого порядка, возвратимся к основной задаче решению и исследованию...
Разместите ссылку на наш сайт:
Справочники, творчество


База данных защищена авторским правом ©dmee.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты